Ilustrasi konseptual: menghilangkan solusi yang tidak valid.
Dalam dunia aljabar, khususnya saat menyelesaikan persamaan yang melibatkan variabel di bawah tanda akar kuadrat atau bentuk radikal lainnya, kita sering kali menemukan hasil yang secara matematis benar dari proses aljabar, namun tidak memenuhi syarat pada persamaan awal. Hasil yang "benar secara mekanis" namun "salah secara kontekstual" inilah yang kita kenal sebagai akar semu (atau extraneous roots).
Akar semu bukanlah kesalahan dalam perhitungan Anda, melainkan artefak yang muncul akibat langkah-langkah yang kita lakukan untuk menghilangkan operasi radikal. Memahami mengapa akar semu muncul adalah kunci untuk memastikan solusi akhir kita valid.
Penyebab utama munculnya akar semu adalah operasi pengkuadratan atau pemangkatan kedua sisi persamaan. Ketika kita mengkuadratkan kedua sisi persamaan (misalnya, dari A = B menjadi A² = B²), kita secara implisit memasukkan kemungkinan solusi dari persamaan A = -B juga. Karena operasi radikal (seperti akar kuadrat) secara definisi hanya menghasilkan nilai non-negatif (nilai utama), solusi yang berasal dari sisi negatif akan menjadi tidak valid pada persamaan aslinya.
Pertimbangkan persamaan sederhana:
√(x + 3) = x - 3Langkah pertama adalah menghilangkan akar dengan mengkuadratkan kedua sisi:
(√(x + 3))² = (x - 3)²
x + 3 = x² - 6x + 9Kemudian, susun ulang menjadi persamaan kuadrat standar:
x² - 7x + 6 = 0Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
(x - 6)(x - 1) = 0Dari sini, kita mendapatkan dua solusi potensial:
x = 6x = 1Inilah momen krusial di mana kita harus menguji setiap solusi potensial kembali ke persamaan awal √(x + 3) = x - 3. Pengujian ini wajib dilakukan untuk semua persamaan yang melibatkan akar kuadrat atau variabel di penyebut (rasional).
Sisi Kiri (SK): √(6 + 3) = √9 = 3
Sisi Kanan (SK): 6 - 3 = 3
Karena SK = SK (3 = 3), maka x = 6 adalah solusi yang valid.
Sisi Kiri (SK): √(1 + 3) = √4 = 2
Sisi Kanan (SK): 1 - 3 = -2
Karena SK ≠ SK (2 ≠ -2), maka x = 1 adalah akar semu.
Mengapa x = 1 menjadi akar semu? Karena ketika kita mengkuadratkan, kita mengubah 2 = -2 (yang salah) menjadi 4 = 4 (yang benar secara kuadratis). Dalam konteks akar kuadrat utama, hasilnya harus positif, sementara sisi kanan menghasilkan nilai negatif.
Konsep akar semu tidak hanya terbatas pada persamaan radikal. Akar semu juga sering muncul ketika menyelesaikan persamaan yang melibatkan nilai mutlak atau ketika melibatkan manipulasi pecahan aljabar yang menghasilkan pembagian dengan nol pada tahap awal, namun pembagian tersebut telah "dihilangkan" melalui perkalian silang.
Dalam persamaan rasional (pecahan), jika setelah menyelesaikan persamaan kita mendapatkan nilai variabel yang membuat penyebut awal menjadi nol, maka nilai tersebut juga diklasifikasikan sebagai akar semu karena menyebabkan bentuk tak tentu pada persamaan aslinya.
Intinya, kapan pun Anda melakukan operasi yang dapat mengubah sifat tanda (misalnya, dari negatif menjadi positif, seperti pengkuadratan) atau operasi yang dapat menghilangkan batasan domain (seperti mengalikan dengan ekspresi yang mungkin bernilai nol), sangat penting untuk selalu melakukan verifikasi solusi akhir terhadap batasan domain dan tanda pada persamaan awal. Proses ini memastikan bahwa hanya akar sejati yang diterima sebagai jawaban akhir.